Version 3 rédigée le 9 novembre 2006.

Olympiades de la Physique 2006-2007
Groupe de Besançon, lycées Pergaud et Victor Hugo.
Élèves :
Galdim Zeqiri
Alexandre Fleuret
Pierre Maraval
Mickaël Bourgeois
Baptiste Lemercier
Professeurs :
Sylvie Guillosseau
Jean-Michel Jussiaux
Sujet : Recherches sur les sons.
Introduction
Nous avons entendu parler de sonneries pour téléphones portables audibles par les élèves, mais pas par leurs professeurs.
Quel est le principe physique mis en jeu dans ces sonneries ? S'agit-il seulement de sons très aigus, audibles uniquement par de jeunes oreilles, ou y a-t-il quelque chose de plus intéressant ?
Recherches de ces sonneries
Nous avons employé plusieurs méthodes. D'abord une tentative de télé chargement payant sur le site mosquitone. Il nous a fallu remplir un questionnaire Internet, passer un sms payant, puis un deuxième pour redire ce que nous avions déjà envoyé par mail Internet, puis nous nous sommes retrouvés connectés sur wasp, l'Internet payant des portables. Pendant de longues minutes, nous avons télé chargé un fichier son au format .wave (donc non compressé, alors que le format Mp3 aurait gagné un temps précieux), puis le télé chargement a été interrompu. Bilan : 5 euros pour ne rien obtenir, du vol caractérisé.
Nous avons aussi tenté d'enregistrer ces sonneries, en démonstration sur Internet. Au lycée, cela s'est révélé impossible. Notre professeur est parvenu à télécharger 4 fichiers Mosquitone qu'il a rapidement analysé, mais il a dû formater son disque dur et les a perdu. Depuis, impossible d'enregistrer en direct.
Nous avons alors essayé de raccorder deux ordinateurs PC, l'un lisant le son, l'autre l'enregistrant. Les résultats ont été contradictoires, voir plus loin.
Baptiste, entendant dans la cour du lycée Victor Hugo plusieurs de ces sonneries, en a transféré quelques unes par la méthode téléphone portable, pocket Pc, carte SD, lecteur de cartes sur PC. Ouf !
Puis nous sommes parvenus à numériser directement ces sons en écoutant les démonstrations proposées sur Internet, mais avec des résultats parfois curieux, voir plus loin.
Premières observations
Certains de ces sons sont audibles par tout le monde. Ils ne présentent rien de particulier et sont sans intérêt.
D'autres sont totalement inaudibles. Il s'avère que le signal est d'amplitude nulle, ce qui n'empêche pas certains de dire dans les forums qu'ils ont entendu quelque chose. Peut-être un sifflement de leur amplificateur ? Ou un peu de vantardise ?
Quelques sons sont nettement plus audibles par les élèves que par leur professeur. Ils comportent un mélange de fréquences audibles par tous de faible amplitude et de sons très aigus audibles uniquement par les élèves et de forte amplitude.
Les sons suraigus paraissent vibrer comme le son d'une fraise de dentiste.
Si sur un site Internet on écoute simultanément plusieurs sons suraigus, un son à beaucoup plus basse fréquence apparaît. Le même phénomène se produit parfois si on enregistre un son suraigu d'un PC vers un autre PC, ou même en direct depuis Internet. Un oscillographe numérique muni de la fonction FFT montre dans ce cas que le spectre se complique, avec plein de pics équidistants. Nous en cherchons l'origine. Il semble qu'il s'agisse d'un problème lié à l'échantillonnage à une fréquence d'un signal préalablement échantillonné à une autre fréquence.
Certains sons comportent simplement une fréquence suraiguë inaudible par le professeur, mais c'est sans intérêt, car nous savons faire cela à l'aide d'un générateur basse fréquence, ce qui nous permettra d'économiser cinq euros.
Hypothèses
Les sons suraigus renforceraient-ils la perception des sons audibles ? Cela nous a conduit à approfondir des recherches sur les phénomènes de non-linéarité.

Expériences
En fait, nous avons réalisé de multiples expériences, en fonction de notre inspiration et des difficultés rencontrées : Création de sons à l'aide de GBF ou d'un ordinateur. Émission de ces sons par divers haut-parleurs ou émetteurs ultra sonores ou encore casque pour séparer le signal reçu par chacune des deux oreilles. Analyse par logiciel ou par oscillographe numérique. Emploi de multiplieurs pour réaliser des non-linéarités. Étude du tube de Kundt, étude de la réflexion d'un son sur un mur (à faire). Visualisation de la vibration d'une membrane éclairée par un faisceau laser.

Création de fichiers Wave, à l'aide du logiciel WaveFFT réalisé par un de nos deux professeurs lors de la mise en place des TPE optionnels en classe de terminale S. On superpose deux sons sinusoïdaux de fréquences f1 et f2. On entend bien f1 et f2 et beaucoup plus faiblement (mieux après entraînement de notre oreille) 2f1 – f2 et encore plus difficilement 2f2 – f1. Exemple Do3 + Sol3 donne Do3, Sol3, Do2 et Do4. L'expérience a aussi été réalisée à l'aide d'un synthétiseur, elle donne des résultats identiques.

Question qui nous est alors venue à l'esprit : L'oreille est-elle sensible au déplacement de l'air, à la variation de pression ou à la puissance sonore, carré de ces grandeurs ?
L'expérience précédente montre que l'oreille n'est pas sensible au carré de ces grandeurs (n'est pas un détecteur quadratique) car pour un détecteur quadratique
f1 -> 2f1
f2 -> 2f2
(f1 + f2) -> 2f1, 2f2, f2 – f1 et f1 + f2 
donc Do3 serait entendu comme Do4, Sol3 comme Sol4 (ce qui n'est qu'une question de convention), mais
Do3 + Sol 3 donnerait Do4 + Sol4 + Do2 + Mi4 alors que nous entendons Do3 + Sol3 + Do2 + Do4, qui pourrait éventuellement être appelé Do4 + Sol4 + Do3 + Do5.
Mais au cours de nos recherches, nous avons trouvé des expériences contradictoires avec celle-ci, superposition de deux signaux ultra sonores, création d'un son dont les harmoniques graves ont été enlevés.

Calculs pour un détecteur quadratique (sensible au carré du signal) :
cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b
En sommant, il vient : cos (a + b) + cos (a – b) =  2 cos a cos b 
ou cos a cos b = ½ [cos (a + b) + cos (a – b)]
Donc cos2 a = cos a cos a = ½ [ cos 2a + cos 0] = ½ + ½ cos 2a 
La fréquence f1 donne donc 2f1.
cos2 (a + b) = cos2 a + cos2 b + 2 cos a cos b =  1 + cos 2a + cos 2b + cos (a + b) + cos (a – b)
Cette expression contient des termes en cosinus de
a-b, 2a, a+b, 2b.

L'oreille semble donc plutôt réagir avec une non-linéarité d'ordre 3. 
Calculs pour un détecteur sensible au cube du signal (cubique) :
(x + y)3 = x3 + y3 + 3 x2 y + 3 x y2
= (cos a + cos b)3 = cos3 a + cos3 b + 3 cos2 a cos b + 3 cos a cos2 b
= cos a cos2 a + cos b cos2 b + 3 cos2 a cos b + 3 cos a cos2 b
= cos a [½ + ½ cos 2a ] + cos b [½ + ½ cos 2b ] + 3 [½ + ½ cos 2a ] cos b + 3 cos a [½ + ½ cos 2a ]
Cette expression contient des termes en cosinus de
a, b, 3a, a, 3b, b, 2a+b, 2a-b, a+2b, 2b-a
soit a, b, 2a-b, 2b-a, 3a, 2a+b, a+2b, 3b. 

Pour vérifier que cette non-linéarité ne provient pas de l'amplificateur, ni des haut-parleurs, nous envoyons l'une des fréquences sur le canal gauche et l'autre sur le canal droit de la carte son, tout en vérifiant que celle-ci est bien stéréo. En approchant les deux haut-parleurs de la même oreille, nous entendons bien les sons supplémentaires. Nous employons des haut-parleurs de bonne qualité à faible puissance.

Nous n'entendons pas les sons supplémentaires, si un haut-parleur est approché de l'oreille droite et l'autre de la gauche. Le cerveau ne crée pas ces sons supplémentaires.
A vérifier pour un son dont les harmoniques graves ont été enlevés.
Mais l'expérience suivante est contradictoire :
Si nous approchons de l'oreille deux émetteurs à ultrasons alimentés en 40 kHz et 41 kHz, nous entendons faiblement du 1 kHz, ce qui fait penser à une non-linéarité du second ordre (phénomène dit de battement).
De même que l'écoute d'un son dont les harmoniques graves ont été enlevés. Ceux-ci semblent créés par l'audition.
Pas si sur. Le fondamental est-il créé par différence entre deux fréquences a – b (en ce cas c'est un effet quadratique) ou par 2a – b (effet cubique) ? A tester.

Expériences complémentaires
Nous employons un multiplieur pour simuler une non-linéarité du deuxième. 
Les fréquences attendues f2 – f1 et f1 + f2 et sont bien présentes
Quant à la vibration du son suraigu, nous cherchons par une simulation dans un tableur si elle ne serait pas due à l'échantillonnage de la carte son de l'ordinateur. Le tableur indique qu'il y a bien une variation rapide de l'amplitude du signal échantillonné, mais trop rapide pour être perçue.

Expériences du 8 novembre 2006.
Nous écoutons avec attention une superposition de deux sinusoïdes de fréquence f1 et f2 (Mi 3 et La 3). Nous retrouvons les fréquences 2f1 – f2 et 2 f2 – f1, même lorsque le niveau sonore est faible. Nous mélangeons une sinusoïde de faible amplitude 0,1 V de fréquence 3000 Hz, audible par tous à une autre de fréquence 9000 Hz d'amplitude 1V. Nous constatons que chacune renforce la perception sonore de l'autre. Cela explique le fonctionnement du son mosquitone comportant les fréquences 6000 et 18000 Hz, cette dernière étant inaudible à certains. En effet 2 f1 – f2 = 2 x 3000 – 9000 = -3000 identique à 3000 Hz.
Nous essayons de même 3000,5 et 9000 Hz, puis 3005 et 9000 Hz. Nous percevons un son vers 3000 Hz avec un battement, ici une variation de l'intensité sonore au cours du temps.
Un peu plus tard, nous essayons à nouveau et ne percevons plus les battements. A la fin de la séance, nous les entendrons à nouveau. Fatigue du système auditif ?

Nous essayons un La 2 avec beaucoup d'harmoniques et sans ses harmoniques de plus basses fréquences. Il paraît plus grave qu'un La 3 formé pourtant d'harmoniques de fréquences plus basses ! Il semble que notre système auditif recrée les basses fréquences comme s'il comportait une non-linéarité d'ordre 2 ! Pas sur, voir plus haut.

Il y a peut-être là un paradoxe. Question à creuser. En tout cas, il y en a un dans le cas des deux signaux à 40 et 41 kHz. Mais la non-linéarité comporte peut-être du troisième ordre fort et du deuxième ordre faible, qui n'apparaît que dans le cas des ultrasons à 40 et 41 kHz.
40 et 41 donnent :
3° ordre : a, b, 3a, a, 3b, b, 2a+b, 2a-b, a+2b, 2b-a,
soit : a, b, 3a, 3b, 2a+b, 2a-b, 2b+a, 2b-a
soit encore : 40, 41, 120, 123, 121, 39, 122, 42 kHz, toutes fréquences inaudibles

2° ordre : 2a, 2b, a+b, a-b
soit 80, 82, 81, 1 kHz.

Seul le 1 kHz étant audible, une non-linéarité du second ordre, même faible, sera perçue, d'autant que la puissance sonore des émetteurs ultrasonores doit être grande.