Olympiades de Physique 2004-2005

Page modifiée le 24 / 5 / 2005
Sommaire : 1. Chute d'une balle dans l'air ; 2. Aberration chromatique d'une lentille ; 3. Propriétés aérodynamiques d'une aile d'avion
Et pour commencer, quelques photographies de notre présentation à Paris au Musée des Arts et Métiers, puis de notre visite à la réalisation franco-allemande, l'European Synchrotron Radiation Facility de Grenoble, visite offerte par l'E.S.R.F.
 
Aberration chromatique présentée au Musée des Arts et Métiers Aberration chromatique, suite Aberration chromatique, le Jury Le réacteur à neutrons franco-allemand, à Grenoble
Visite à Grenoble, un miroir à rayons X Un miroir à rayons X, courbable, en silicium monocristallin La salle de contrôle du faisceau d'électrons du synchrotron, à l'ESRF Propreté absolue, le matériel très lours est déplacé sur coussin d'air
Ce morceau de papier de 2x2 mm va être imagé en 3D, aux rayons X, en résolution 2000x2000 pixels Les cibles à rayons X

Notre lycée a présenté finalement deux groupes aux Olympiades de la Physique 2004-2005, l'année 2005 étant, rappelons-le, déclarée année mondiale de la Physique par l'Unesco.
C'est d'ailleurs l'année choisie par notre Ministre de l'Education Nationale, pour diminuer le nombre de postes de professeurs, ce qui nous vaut la suppression d'une classe ou demi classe de Terminale Scientifique.

Notre premier groupe avait commencé par travailler sur l'étude comparée de chutes de différentes balles, puis a abandonné ses recherches, les mesures les plus précises effectuées semblant contredire son intuition. Le début du compte-rendu a été gardé car in pourra peut-être servir à d'autres (nombre de Reynolds...).

1. Chute d'une balle dans l'air, sujet abandonné provisoirement

Nous avions constaté, lors de travaux pratiques en MPI ou terminale S, qu'une boule de faible masse volumique tombant dans l'air, semble animée de petits mouvements transversaux. Nous nous proposons de rechercher s'il s'agit d'erreurs de mesures ou d'un réel phénomène physique. Dans ce dernier cas cela pourrait être lié, soit à des imperfections de forme de la boule, soit au mouvement tourbillonnaire de l'air dans lequel elle se déplace.

Il nous faudra améliorer la précision de nos mesures.
Pour commencer, nous nous sommes plongés dans la lecture du Bruhat de Mécanique édité chez Masson, pages 489 et 503.

En voici un bref résumé.


L'écoulement du fluide autour d'un corps en mouvement dans celui-ci peut être de 3 types :

Nous allons voir plus loin la définition du nombre de Reynolds et les calculs conduisant aux résultats suivants :
Pour une boule de polystyrène de 7 cm de diamètre, les 3 régimes d'écoulement correspondent aux valeurs suivantes :
Régime Laminaire tourbillonnaire lié tourbillonnaire libre tourbillonnaire libre, avec points de décollement des filets reportés vers l'arrière
Nombre de Reynolds, N < 10 10 à 50 50 à 200 000 > 500 000
Vitesse v de la boule, dans l'air < à 0,0022 m.s-1 0,0022 à 0,011 m.s-1 0,011 à 42,8 m.s-1 > 110 m.s-1
Force de frottement dépendant de viscosité de l'air   masse volumique de l'air masse volumique de l'air
Loi s'appliquant Stokes   Bernoulli  
Relation donnant la force de frottement F F = 6 p h R v (pour une sphère)   F = 1/2 Cx r S v2 F = 1/2 C' r S v2
h est le coefficient de viscosité, R le rayon de la sphère, v sa vitesse, S sa section (valeur maximale de la surface d'une section droite, c'est à dire perpendiculaire au déplacement, ce que les marins appellent le maître-couple), C' et Cx des coefficients quasi constants (avec C' < Cx), r la masse volumique du fluide, F la force de frottement.
Notons dès à présent que dans le régime laminaire, la force de frottement dépend de la viscosité du fluide, ce qui n'est pas le cas dans les 2 autres régimes.
Le régime tourbillonnaire libre est atteint dès la vitesse très faible de 1 cm.s-1, ce qui demande 1 ms ou 5 m de chute. Les 2 autres régimes ne seront donc pas décelables sur un film vidéo.

Pour une bille de 1 cm de diamètre, en chute dans l'eau, le premier régime tourbillonnaire libre correspond à une vitesse comprise entre 0,005 et 20 m.s-1.

Comment est défini ce nombre N de Reynolds ?


Le coefficient de viscosité h décrit la force tangentielle d'interaction selon une surface élémentaire dS entre 2 feuillets d'un fluide, au contact, dans une zone où existe un gradient de vitesse de déplacement du fluide dv / dn.
dF = h dv / dn . dS (dF et dv sont des vecteurs élémentaires). h se mesure en kg . m-1 . s-1 ou en Pa . s, ou encore poiseuille (Pl).
Le coefficient n de viscosité cinématique est donné par h = n / r, où  r est la masse volumique du fluide. n se mesure en m2 . s-1.
Quelques valeurs numériques (voir aussi Gié Mécanique 2, page 5) :
Fluide air à 20 °C eau à 0 °C eau à 20 °C eau à 60 °C huile de ricin glycérine
h en kg . m-1 . s-1 1,6 . 10-5 0,0018 0,0010 0,0006 0,96 0,85
n en m2 . s-1 1,4 . 10-5 1,8 . 10-6 1,0 . 10-6 0,6 . 10-6    
Pour un objet de dimension caractéristique d en mètre, se déplaçant à la vitesse v en m . s-1, dans un fluide de coefficient de viscosité cinématique n, le nombre N de Reynolds, sans dimension, s'écrit : N = (v . d) / n.

Théorème de Bernoulli


Sa démonstration (Bruhat de Mécanique, page 487) suppose

Fluide en mouvement permanent signifie qu'à chaque point du fluide, il y a un vecteur vitesse. Ce qui veut dire que toutes les particules de fluide qui se présentent successivement en ce point (fixe par rapport au repère choisi), s'y présentent avec le même vecteur vitesse, lui-même indépendant du temps. Il ne doit pas y avoir de tourbillons, ni d'onde en cours de propagation. Les particules suivent alors des courbes fixes dans le temps, tangentes en chacun de leurs points au vecteur vitesse en ce point. L'équation de Bernoulli est :
p/rg + v2/2g + z = Cte
p étant la pression en pascal, r la masse volumique en kg . m-3, g la constante de pesanteur en m . s-2, v la vitesse au point considéré en m . s-1 et z la cote en m mesurée vers le haut.

Tube de Pitot (ou de Prandtl pour les Allemands)


La loi de Bernoulli s'applique à un tube mince, ouvert face au courant de fluide. A l'ouverture règne la pression p' telle que :
p' = p + (r . v2)/2. Une mesure différentielle de p' - p, permet de trouver la vitesse v du fluide. Pour une vitesse dans l'air de 0,011 m.s-1, Dp vaut 7,3 . 10-5 Pa ce qui est très faible, pour 30 m.s-1, 540 Pa.
Le même raisonnement appliqué à un objet de forme quelconque permet de calculer la force de frottement F à laquelle il est soumis, du fait du fluide dans lequel il est en mouvement.

F = 1/2 Cx r S v2
F en N, Cx un coefficient sans dimension (à priori inférieur à 1, sauf si des tourbillons arrière impliquent une contre pression inférieure à la pression du fluide en mouvement, loin de l'obstacle) dépendant de la forme de l'objet, r la masse volumique du fluide en kg . m-3, S la surface frontale en m2 (les marins diraient le maître couple) de l'objet en mouvement à la vitesse v en m . s-1.
Voici quelques valeurs de Cx, il reste à vérifier s'ils correspondent à N < 200000 ou N > 500000. A priori, il doit s'agir de N < 200000.
Objet Plaque plane mince, écoulement théorique, sans tourbillons arrière plaque mince carrée plaque mince rectangulaire de 1 x 4 plaque mince rectangulaire d'allongement infini disque sphère ou boule demi-sphère (creuse), convexité face au "vent" demi-sphère (creuse), concavité face au "vent"
Cx 0,88 1,10 1,19 2,01 1,11 0,44 0,34 1,33
Compte tenu de ce qui a été dit plus haut, cette relation s'applique aux régimes tourbillonnaires libres.

Nombre de Reynolds


C'est un nombre N choisi volontairement sans dimension, par combinaison des différentes grandeurs physiques évoquées plus haut. De plus sa définition est telle qu'il augmente avec la vitesse du fluide.

N = (v . d) / n
v est la vitesse de l'objet en m . s-1, d une dimension caractéristique de l'objet en m, n le coefficient de viscosité cinématique en en m2 . s-1.

Vitesse limite


Elle se calcule, si le régime est tourbillonnaire libre, selon la relation :
Poids - pousséeArchimède = 1/2 Cx r S v2
Voici quelques valeurs calculées, pour des sphères de Cx égal à 0,44 :
Objet tombant dans le fluide bille d'acier de 1 cm de diamètre, dans l'eau boule de polystyrène de 7 cm de diamètre, dans l'air boule de polystyrène de 1 cm de diamètre, dans l'air boule de polystyrène de 1 mm de diamètre, dans l'air
vitesse limite en m . s-1 1,44 7,01 2,65 0,84
Nombre N de Reynolds 14 400 3 270 176 5,6 <-> régime laminaire

Formule de Stokes


Elle donne la résistance du fluide aux faibles vitesses (régime laminaire) qui dépend de la viscosité et de la taille de l'objet.

F = 6 p h v R
F en N, h le coefficient de viscosité du fluide en kg . m-1 . s-1, R le rayon en m de la sphère en mouvement à la vitesse v en m . s-1.

Quelques idées de manipulations en vrac


Chute dans l'air, boule de 7 cm ou 1 mm de diamètre
Chute de la boule de 7 cm, avec des fils attachés à l'arrière pour visualiser les tourbillons
Capteur de pression, en tube de Pitot (pour trouver les fréquences de vibration du flux d'air de la soufflerie), ou transversal (pour essayer de détecter les poussées latérales).
Etudier les différentes fréquences, les fluctuations. Y aurait-il des transitions vers le chaos ?
Boule de polystyrène montée en pendule, comparaison de l'amortissement pour de faibles vitesses (régime laminaire) et des vitesses plus grandes (soufflerie). Dans ce dernier cas, la force de frottement, développée au premier ordre, est affine à v de la boule et à V du flux d'air. Donc quand la soufflerie souffle plus fort, la boule doit s'amortir plus vite.
Visualiser les tourbillons, si possible dans l'air. Comment ?

Pour commencer, nous avons amélioré notre logiciel permettant d'acquérir les coordonnées successives du centre de la boule, dans un film de sa chute.
Or, lors de ces acquisitions plus précises, nous n'avons pas retrouvé les fluctuations transversales constatées auparavant. Nous avons alors préféré changer de sujet.

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2. Aberration chromatique d’une lentille mince convergente ; correction par une lentille diffractive.


Ce sujet a obtenu un troisième prix à Paris, Musée des Arts et Métiers.

Elèves : Barbe Antoine, Philippe Antoine, Ilic Dejan.
Professeur responsable : Jussiaux Jean-Michel.
Conseillers scientifiques : Obert Dominique, Van Labeke Daniel.
 

Télécharger le mémoire (3,5 mégaoctets) sous Word.


Un résumé de ce mémoire :

Les lentilles réfractives présentent, entre autres défauts, une aberration chromatique due au fait que le verre est un milieu dispersif, dans lequel la lumière a une vitesse de propagation qui dépend de sa longueur d’onde.  Les lentilles diffractives présentent une aberration chromatique de sens opposé, due  aux phénomènes de diffraction et d’interférences auxquels elles donnent lieu.
Nous réalisons, par impression sur un transparent, une lentille diffractive, réseau de Soret, que nous associons à une lentille réfractive, dans le but de corriger l’aberration chromatique. Dans un premier temps, nous multiplions les essais infructueux, nous testons divers montages, divers objets lumineux, divers réseaux de Soret et divers filtres. Les images sont peu visibles, les mesures difficiles, les résultats obtenus ne correspondent pas du tout à ce que nous attendions. Dans notre impatience, nous faisons varier trop de paramètres simultanément, nous oublions de noter des informations indispensables. Nous recherchons par essais successifs une lentille diffractive qui corrigerait l’aberration chromatique de la lentille réfractive, sans succès.
Puis nos recherches théoriques nous conduisent à une propriété des réseaux, nommée blaze, ou éclat. En recommençant nos mesures, nous  découvrons, que les lentilles diffractives que nous avons réalisées ont plusieurs foyers. De même que leur association avec une lentille réfractive.
Nous trouvons par le calcul les caractéristiques de la lentille diffractive qui doit être utilisée et nos dernières expériences montrent que nous sommes parvenus à une correction de l’aberration chromatique, en employant l’ordre –1 de la lentille diffractive. Par contre, notre lentille diffractive n’étant pas blazée possède plusieurs foyers qui brouillent l’image.
Nous mettons finalement au point, avec des prismes en crown et flint, ainsi que des réseaux linéaires, des expériences qui montrent les principes physiques mis en jeu dans la correction de l’aberration chromatique, par la méthode classique (doublet achromatique crown flint) et par la méthode nouvelle (crown plus réseau).

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3. Propriétés aérodynamiques d'une aile d'avion

Sujet étudié par le groupe sous la responsabilité de Monsieur Laurent Lhomme.

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